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Bachelier（正态）模型

Bachelier（1900）是第一个期权定价模型——比Black-Scholes早了73年。价格变化是加性的，且服从正态分布。Bachelier建模的不是百分比收益率（对数正态），而是美元变动（正态）。价格可以变为负数——对于股票市场这是缺陷，但对于利率而言这却是优势。

该模型只有一个参数：正态波动率，以绝对值计量（例如'$50/年'而不是'30%/年'）。不存在微笑曲线。如果世界符合Bachelier模型，那么所有行权价的每个期权都会有相同的正态波动率。这条平坦的微笑曲线正是该模型的核心预测。

💡
偏斜可能是模型的产物

Bachelier从构造上就产生平坦的微笑曲线。将这些价格转换为Black-Scholes隐含波动率，您就会得到一个偏斜。这个偏斜并不存在于市场中——它是将对数正态数学强加于一个可能是正态的世界所产生的后果。

探索模型​

平坦的蓝色虚线是Bachelier的视角：所有行权价共用一个波动率。绿色曲线展示了同样的期权价格用Black-Scholes术语重新表达后的形态。降低现货价格，观察表观的BS偏斜变得更陡峭——尽管在Bachelier世界中什么都没有改变。

Bachelier 与 Black-Scholes 对比探索器

典型设置。Bachelier 微笑曲线按定义是平坦的。同样的价格以 BS 形式重新表达后会产生偏斜。
16%22%28%828894ATM106112118行权价隐含波动率BS 隐含波动率 (%)Bachelier（正态波动率）
正态波动率20
以 $/年 表示的绝对波动率（非百分比）
现货价格 (S)100
现货价格越低 = BS 表观偏斜越明显

平坦的蓝色虚线是 Bachelier 的视角：所有行权价使用同一个波动率。绿色曲线是同样的期权价格以 Black-Scholes 形式重新表达的结果。“偏斜”是模型产物，而非市场特征。

各参数的作用​

  • 正态波动率：唯一的参数。以每年绝对价格单位计量（而非百分比）。正态波动率为20意味着预期价格在一年内变动$20（一个标准差）。所有行权价都使用同一个波动率——微笑曲线是平坦的。
  • 现货价格：不会改变Bachelier的微笑曲线（依然平坦）。但它会显著影响BS等价微笑曲线。在较低的现货价格下，相同的美元变动对应更大的百分比变动，因此BS隐含波动率上升——形成表观的看跌偏斜。

BS'偏斜'为何出现​

发生什么
Bachelier视角
BS视角
ATM期权定价
正态波动率直接适用
对数正态波动率约等于 normal_vol / spot
虚值看跌期权（低行权价）
与ATM相同的波动率
更高的IV，因为相同的美元变动在低价位对应更大的百分比变动
虚值看涨期权（高行权价）
与ATM相同的波动率
更低的IV，因为相同的美元变动在高价位对应更小的百分比变动
降低现货价格
微笑曲线保持平坦
整条曲线上移，看跌一翼变陡
ℹ️
SABR的beta选择骨架

SABR的骨架（关闭波动率的波动率后的微笑曲线）取决于beta。Beta = 0：Bachelier。Beta = 1：Black-Scholes。Beta决定了您在正态与对数正态谱系上的位置。

Bachelier的应用场景​

市场
为何使用Bachelier
正态波动率单位
利率互换期权
欧元、日元、瑞郎的利率曾变为负值。BS在零点失效，Bachelier则不会。
bps/年（例如50 bps）
价差期权
价差可以为负。加性模型很自然。
$/年 或 bps/年
CDS期权
信用利差天然适合用加性变动建模。
bps/年
加密货币（小众）
资金费率期权或基差期权，其标的资产可能变为负值。
%/年（绝对值）
⚠️
不适用于加密货币现货期权

加密货币现货价格为正，且表现出杠杆效应（价格下跌时波动率上升）。对数正态框架（Black-Scholes系列）在此更为自然。Bachelier是利率、价差以及任何可能变为负值的产品的合适工具。

Bachelier与Black-Scholes速览对比​

Bachelier
Black-Scholes
价格动态
加性（正态）
乘性（对数正态）
波动率单位
$/年（绝对值）
%/年（相对值）
价格可为负？
可以（设计如此）
不可以（负数的对数无定义）
微笑形状
按定义平坦
仅当世界真正符合对数正态时才平坦
参数
1个（正态波动率）
1个（对数正态波动率）
换算
σ_n ≈ σ_BS × S（接近ATM时）
σ_BS ≈ σ_n / S（接近ATM时）
适用范围
利率、价差、CDS
股票、外汇、加密货币现货

换算公式​

在ATM附近，您可以在两者之间进行换算：

σnormal≈σBS×S\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S

价格为100、BS波动率为30100、BS波动率为30%的标的资产，其正态波动率约为30。但这个近似在远离ATM时会失效，这正是将Bachelier价格换算为BS后出现'微笑'的原因。

💡
按定义平坦的微笑曲线

Bachelier将价格变化视为加性的。其微笑曲线按定义就是平坦的。换算为BS术语后出现的偏斜是模型选择的产物，而非市场特征。

公式探索器​

公式探索器

$
$
天
%
%
看涨期权价格
$8300
看跌期权价格
$7890
Call Δ
0.555
d₁
0.102
Vega
$114

继续学习前先测试你的理解。

Q: 为什么Bachelier产生平坦的微笑曲线而Black-Scholes不会？
Q: 如果您将Bachelier期权价格换算为BS隐含波动率，会得到看跌偏斜。这个偏斜从何而来？
Q: 在加密货币场景中，什么时候应该用Bachelier而不是Black-Scholes？
Q: 正态波动率与BS波动率在接近ATM时的关系是什么？

💡 提示： 先尝试自己回答每个问题，再查看答案。

建立数学直觉​

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本课程从通俗易懂的思维模型开始，然后逐步讲解正态波动率、定价公式， 以及为什么平坦的正态微笑曲线在换算为Black-Scholes术语后 会呈现为偏斜。

另请参阅：

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