从零开始学 Bachelier

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第 1 节

美元，而非百分比

Black-Scholes 说"波动 10%"。Bachelier 说"波动 $10"。这就是这两个最古老的期权定价模型之间全部的理念分歧。

Louis Bachelier 于 1900 年发表了他的模型——比 Black 和 Scholes 早了 73 年。他的想法极其简单：价格变化是加法式的，且服从正态分布。整个模型只有一个方程：

Bachelier 动态

dS = σ_n · dW

σ_n 是正态波动率，以每平方根年的美元（或基点）为单位衡量——而非百分比。 dW 是标准布朗增量。

如果正态波动率是 $20，模型预测价格一年内大约可以波动 $20。无论价格从 $40 还是 $400 起步，以美元计的波动幅度都相同。这就是"加法式"的含义——噪声不随价格水平缩放。

将其与Black-Scholes对比，后者的噪声是乘性的：dS = S·σ·dW。同样30%的波动率会使$100的标的资产产生$30的波动，但使$500的标的资产产生$150的波动。标尺被拉伸了。

尺子的比喻：固定刻度 vs 弹性刻度

价格水平$100

Bachelier：$10 在任何位置都是 $10BS：10% 随价格伸缩

拖动价格滑块。Bachelier 标尺的刻度保持固定的美元间隔。BS 标尺会伸缩，因为每个刻度是当前价格的固定百分比。

为什么这很重要

加法模型可能产生负价格。如果您在为股票期权定价，这是一个缺陷。但对利率（EUR、JPY、CHF 曾进入负利率）和价差（本身带有正负号）而言，这是一个优点。Bachelier 领先了他的时代 73 年——他的"缺陷"成为了利率期权的行业标准。

第 2 节

公式比您想的更简单

Bachelier 看涨期权定价公式比 Black-Scholes 的组成部分更少。没有对数。没有折现因子的麻烦。只有减法、一个比值和两次正态分布查表。

Bachelier 看涨期权价格

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n√T · φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Φ 是正态CDF（低于某个值的概率）。φ 是正态PDF（钟形曲线的高度）。d 衡量现价高出行权价多少个标准差的波动——与BS中的 d₁ 是相同的概念，但以美元形式而非对数形式表示。

把公式拆成两部分，就很容易记住：

Piece 1: (S − K)·Φ(d) ——内在的到期收益，按概率加权。如果Call到期时为实值，您将获得 S − K. Φ(d) 就是这种情况发生的概率。

Piece 2: σ_n√T·φ(d) ——时间价值的缓冲。即使现价接近行权价，不确定性也让期权仍有机会。更高的波动率或更长的时间会增大这一项。

与Black-Scholes对比：C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂)。BS使用ln(S/K)，而Bachelier使用S−K。那个对数就是全部差异所在。在ATM附近，两者一致。

Bachelier 与 Black-Scholes：并排对比

Bachelier（正态）

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n·√T·φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Black-Scholes（对数正态）

C = S·Φ(d₁) − K·Φ(d₂)

d₁ = (ln(S/K) + ½σ²T) / (σ·√T)

现货价 (S)

$100

行权价 (K)

$105

时间（T，年）

0.25

正态波动率 (σ_n，$/年)

$20

Bachelier 价格

$2.16

d = -0.500

BS 价格 (σ_BS ≈ σ_n/S)

$2.37

σ_BS = 20.0%

Difference: $0.21 (9.7%) -- away from ATM, they diverge

把行权价移离现货价，观察两个价格如何分歧。在 ATM 附近两者几乎相同，因为线性近似和对数近似在局部一致。在深度 OTM 处，两个模型出现分歧，因为 Bachelier 允许负价格而 BS 不允许。

第 3 节

正态波动率 vs BS 波动率

在 ATM 附近，两者之间的换算很简单： σ_n ≈ S · σ_BS。平坦的正态波动率微笑会映射为带偏斜的 BS 微笑，因为同样的美元波动在不同行权价处对应不同的百分比。

如果现货价是 $100、BS 波动率是 30%，则正态波动率约为 $30。如果现货价跌到 $50，同样 $30 的正态波动率在 BS 框架下变成 60%。Bachelier 世界里什么都没变——但 BS 波动率翻倍了。

这就是为什么完全平坦的 Bachelier 微笑（所有行权价共用一个正态波动率）会产生带偏斜的 BS 微笑。对低行权价，同样的美元波动对应更大的百分比。对高行权价，则对应更小的百分比。BS 隐含波动率曲线从左到右向下倾斜。

近 ATM 换算

σ_n ≈ S · σ_BS

σ_BS ≈ σ_n / S

这个近似在 ATM 附近很精确，但对深度 OTM 行权价会退化。正是这种退化在换算后造成了表面上的偏斜。

下方的交互演示展示了同一市场的两种视角。Bachelier 说是一个波动率。BS 说是一条曲线。两者都没有错——它们只是同一组期权价格的不同坐标系。

假偏斜：相同的价格，两种坐标系

Bachelier 视角 平坦

BS 视角 偏斜

现货价格$100

正态波动率$20

左侧图表的形状永远不会改变。 它始终是一条水平直线——在 Bachelier 模型中，所有行权价共用同一个波动率。右侧图表显示的是同样的期权价格被强行套入 Black-Scholes 数学框架后的结果。拖动现货价格滑块，观察 BS 偏斜变陡或变平。市场并没有变，变的只是坐标系。

第 4 节

何时 Bachelier 是正确的模型

Bachelier 是利率期权、价差期权以及任何标的资产可能为负的产品的行业标准。它不是加密货币现货的合适默认模型——但对基差和资金费率产品来说非常合适。

利率： 2014 年欧洲央行把利率压至负值时，Black-Scholes 失效了。您无法对负数取对数。全球利率交易台一夜之间从对数正态报价切换到正态报价。互换期权波动率现在以正态波动率的基点报价，而非对数正态波动率的百分比。

价差： 两个价格之差天然是加法式的。日历价差、基差交易或跨货币价差都可正可负。Bachelier 无需任何变通就能处理。

资金费率产品： 加密货币资金费率围绕零波动，且可以为负。如果您在为资金费率期权定价，Bachelier 是天然的语言。

加密货币现货： 价格为正且存在杠杆效应（价格下跌时波动率上升）。对数正态框架在这里更自然。现货用 BS，利率和价差用 Bachelier。

加法（Bachelier）与乘法（BS）路径对比

Bachelier: dS = σ_n·dW

BS: dS = S·σ·dW

路径数： 0跌破零： 0

Bachelier（加性噪声，可能变为负值）BS（乘性噪声，始终为正）

左侧面板展示 Bachelier 路径：加法噪声、对称，部分路径穿越零。右侧面板展示 BS 路径：乘法噪声、始终为正，分布有长右尾。增加路径数量，观察有多少 Bachelier 路径变为负值——那个"缺陷"对利率而言其实是个优点。

第 5 节

虚假偏斜问题

如果用 Black-Scholes 框架为 Bachelier 市场报价，您会看到并不存在的偏斜。这个"偏斜"只是坐标变换。这是本页最重要的一课。

假设有位做市商用平坦的正态波动率为期权定价。每个行权价都是 $20 的正态波动率。没有偏斜。没有微笑。只有一个数字。

现在一位交易员用标准 IV 求解器把这些价格换算成 BS 隐含波动率。低行权价的期权显示更高的 BS 波动率。高行权价的期权显示更低的 BS 波动率。交易员看到看跌偏斜，以为市场在为暴跌风险定价。

但这个市场里并没有暴跌风险。偏斜是把正态世界强行套进对数正态透镜产生的假象。标的资产为 $80 时，$20 的波动在 BS 框架下是 25%。标的资产为 $120 时，同样 $20 的波动只有 16.7%。百分比不同，美元波动相同。

假偏斜：相同的价格，两种坐标系

Bachelier 视角 平坦

BS 视角 偏斜

现货价格$100

正态波动率$20

左侧图表的形状永远不会改变。 它始终是一条水平直线——在 Bachelier 模型中，所有行权价共用同一个波动率。右侧图表显示的是同样的期权价格被强行套入 Black-Scholes 数学框架后的结果。拖动现货价格滑块，观察 BS 偏斜变陡或变平。市场并没有变，变的只是坐标系。

这在实践中之所以重要，是因为：

您可能误判偏斜。 如果利率交易台用正态波动率报价，而您换算成 BS，您看到的偏斜将 100% 是假象。不要拿它做交易。

与 SABR 的联系。 SABR 的 beta 参数决定您处于 Bachelier 到 BS 谱系中的哪个位置。Beta = 0 是完全 Bachelier（正态）。Beta = 1 是完全 BS（对数正态）。在 beta = 0 时您以 BS 框架看到的"偏斜"，大部分正是同样的坐标假象。

黄金法则： 在交易偏斜之前，先问它是市场特征还是模型特征。在一个坐标系中平坦，在另一个坐标系中可能显得有偏斜。

接下来阅读：

Black-Scholes —— 对数正态的对应模型

SABR 模型 —— 用 beta 在正态-对数正态谱系中选择位置

CEV 模型 —— 通过 beta 参数连接正态与对数正态

偏斜 —— 区分模型假象与市场特征