从零开始学静态复制
1/5任何到期收益都是更简单收益的总和
您见过的每一张复杂的到期收益图，其实都只是由更简单部件构成的组合：看涨期权、看跌期权、远期。您看到的形状就是各条单独收益线的总和。
蝶式策略是三个看涨期权。跨式组合是一个看涨期权加一个看跌期权。领口策略是标的资产加一个看跌期权再减一个看涨期权。这些都不是奇异期权，它们只是普通期权的线性组合。
在下方选择一个到期收益形状，然后点击分解，即可看到构成绿色曲线的各个组成部分。虚线是各条单独的腿，它们相加即得到绿色实线。
如果任何到期收益都是更简单收益的总和，那么为任何收益定价就归结为为各个部件定价。而且只要能交易这些部件，您就可以复制任何想要的形状，而无需定制工具。这正是静态复制的核心承诺。
以普通期权为构件
看涨期权价差是两个看涨期权。蝶式策略是三个。铁秃鹰策略是四个。只要在合适的行权价上有足够多的看涨与看跌期权，您就能逼近任何分段线性的到期收益。
每个香草期权都为组合后的到期收益贡献一个“拐点”。行权价 K 处的看涨期权在 K 处使到期收益向上弯曲。行权价 K 处的看跌期权在 K 以下使其向上弯曲。每个拐点都会按该期权的数量改变斜率。
在下方构建您自己的组合。在不同行权价添加看涨和看跌期权，实时观察组合到期收益的变化。试着构建一个在 90 到 120 之间为平坦、其余区间为零的到期收益。
Breeden-Litzenberger 结论
看涨期权价格对行权价的二阶导数给出风险中性概率密度。市场在隐含地告诉您每一种可能结果的概率。
Breeden 与 Litzenberger（1978）证明：取各行权价上的看涨期权价格网格并计算每一点的曲率，即可还原出风险中性分布的密度函数。无需模型，只需价格和算术运算。
绿色曲线就是提取出的密度。其峰值告诉您市场认为标的资产最可能的结算位置，其宽度告诉您市场的不确定程度。提高波动率，观察密度变得更平坦、更分散。
这不是估计值，也不是模型输出。它是从市场价格中直接、无模型地提取的结果。唯一的假设是看涨期权价格对行权价二阶可导，任何无套利市场都满足这一条件。
复制二元期权
二元看涨期权在行权价之上支付 $1，之下支付 $0。您可以用窄间距的看涨期权价差：在 K 处买入看涨期权，在 K+ 处卖出看涨期权ε，并按 1/ 缩放ε。当价差宽度趋于零时，斜坡变为阶跃。
这是普通期权与二元期权之间的基本联系。二元期权是看涨期权价差在价差宽度趋于零时的极限。等价地，二元期权等于看涨期权价格对行权价导数的负值：D(K) = −∂C/∂K.
拖动滑块收窄价差，观察蓝色斜坡收敛为绿色阶跃函数。
复制任意到期收益
Carr 与 Madan（1998）证明：任何二阶可导的欧式到期收益都可以分解为三部分：一个远期头寸、远期价格以下的一组虚值 (OTM) 看跌期权、以及远期价格以上的一组虚值 (OTM) 看涨期权。
这就是 Carr-Madan 公式。它表明目标到期收益的曲率——即二阶导数 f″(K)——决定了每个 OTM 期权所需的数量。到期收益的线性部分由远期捕捉，曲率则由期权序列 (strip) 捕捉。
在下方选择一个到期收益，然后点击显示 Carr-Madan 分解，即可看到三个组成部分。黄线是远期部分，红色区域是 OTM 看跌期权序列，蓝色区域是 OTM 看涨期权序列。三者相加即为绿色目标曲线。
注意 F（远期价格）处的分界线。F 以下只有看跌期权发挥作用，F 以上只有看涨期权发挥作用。这并非随意安排——使用 OTM 期权可将复制成本降到最低，因为在信息含量相同的情况下，OTM 期权比 ITM 期权更便宜。
Carr-Madan 分解是方差互换、VIX 计算以及组合复制策略的理论基础。VIX 公式正是该积分的离散近似。每当您看到“期权序列 (strip of options)”时，其背后的数学就是它。