跳跃与肥尾模型

市场会出现跳空。协议漏洞攻击、美联储的意外决定、强制平仓连锁反应。随机波动率模型难以应对突然的跳跃。跳跃模型直接处理这些情况：价格会在随机时刻瞬间跳转到新的水平。

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获得肥尾的两种方式

随机波动率模型（Heston、SABR）使波动率随机化。跳跃模型则让价格本身发生跳跃。真实市场中这两种效应同时存在——生产系统通常将它们结合使用。

概览

模型

核心思想

最适用于

Merton跳跃扩散

Black-Scholes + 随机跳跃。最初的跳跃模型。

理解崩盘风险、短期微笑曲线的陡峭程度

Kou

非对称跳跃。崩盘幅度大于上涨。

独立的两翼拟合

方差伽马

纯跳跃，无扩散。收益由随机时钟驱动。

无需随机波动率的肥尾。学术基准。

共同点

这三个模型都通过允许价格跳跃来解释肥尾和陡峭的短期微笑曲线。它们的区别在于跳跃分布，以及是否包含连续扩散成分。

模型

跳跃分布

是否含扩散？

是否有闭式解？

尾部行为

Merton

对数正态（对称）

是

是（级数）

对称加肥

Kou

双指数（非对称）

是

是

左右尾部独立

方差伽马

伽马从属布朗运动

否

是

由偏斜和峰度参数控制

模型之间的关系

Merton是最初的模型：在Black-Scholes的基础上加入从对数正态分布中抽取的随机跳跃。跳跃是对称的，因此该模型会同等地加肥两侧尾部。Kou对此进行了改进，用双指数分布替代对数正态跳跃，为向上和向下的跳跃分别提供独立参数——崩盘幅度可以大于上涨。方差伽马则另辟蹊径：它完全移除了扩散成分，将收益建模为运行在随机时钟（伽马过程）上的布朗运动。所有的价格变动都来自跳跃。这使其成为一个纯跳跃过程，其峰度和偏斜参数直接控制尾部形态。

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本节包含的模型：

• Merton跳跃扩散 — 最初的跳跃模型
• Kou跳跃扩散 — 非对称双指数跳跃
• 方差伽马 — 带随机时钟的纯跳跃过程