从零开始学 Kou 跳跃扩散模型
1/5Merton 的跳跃过于对称
Merton 使用对数正态跳跃。跳跃幅度分布是一条以某处为中心的单一钟形曲线。上跳和下跳来自同一族。这就是问题所在。
真实的暴跌比反弹更尖锐。稳定币脱锚看起来并不像轧空的镜像。-20% 的跳空发生在单个区块内。+20% 的反弹则需要一周。您需要一个能够分别控制左尾和右尾的模型。
Kou (2002) 通过用一个 双指数 分布替代对数正态跳跃分布来解决这一问题。上跳以一个速率衰减。下跳以另一个不同的速率衰减。两个独立的旋钮对应两个独立的尾部。
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
在 Kou 中：跳跃幅度 Y = ln(J) 服从一个 双指数 分布，正值和负值具有独立的衰减速率。
实际后果是：在 Merton 中，当您让微笑曲线的左翼变陡（通过使 μJ 更负）时，您也会牵动右翼。正态分布关于其均值对称。而 Kou 将两翼完全解耦。
双指数分布
跳跃幅度 Y 的密度由在零点拼接的两个指数半部分组成。每个半部分以各自的速率衰减。这是核心创新。
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ 控制下跳衰减。较小的 η₂ 意味着下跳可能很大（左尾较肥）。平均下跳 = 1/η₂.
p 是给定跳跃向上的概率。
拖动下方的参数并观察密度的变化。关键实验是：将 η₁ 设置得远大于 η₂。右尾（上跳）变得又薄又集中在零附近，而左尾（下跳）则向外延伸很远。这就是崩盘风险的形状。
三个可尝试的实验：
1. 设置 η₁ = η₂ = 5, p = 0.5。密度是对称的。两个尾部完全相同。这在本质上等价于均值跳跃为零的 Merton。
2. 设置 η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3。左尾肥、右尾薄，大多数跳跃向下。这是典型的崩盘状态。
3. 将 p 调高至 0.9。大多数跳跃向上，但确实发生的下跳仍然独立地由 η₂ 支配。
为何非对称跳跃很重要
的比率与η₁ 与 η₂ 的比率以及参数 p 共同控制着隐含波动率微笑的偏斜。关键在于，它们能够独立地控制每一侧的翼。
考虑一种加密代币。脱锚崩盘通常剧烈而深沉——这意味着一个较小的 η₂（左尾肥厚）。而正常的上涨行情则是渐进式的——这意味着一个较大的 η₁ （右尾稀薄）。由此产生的微笑具有陡峭的 Put 翼和平缓的 Call 翼。这正是您在市场中看到的情形。
在下面的浏览器中，观察单独改变 η₂ 如何在不移动右翼的情况下使左翼变陡。然后尝试改变 η₁ ——它能独立地使右翼变陡。这正是 Kou 模型的实用优势：您可以分别将每一侧的翼拟合到市场。
为什么 p 对偏斜很重要： 如果 p = 0.3（大多数跳跃是向下的），左翼会膨胀，因为虚值 (OTM) Put 面临着源源不断的向下跳跃风险。右翼则更为平静——落在那里的跳跃更少。
为什么 η 比率对偏斜很重要： 即使 p = 0.5（跳跃概率相等），如果 η₂ 远小于 η₁，那么向下跳跃平均而言要大得多。这会抬升 Put 翼，因为相同数量的向下跳跃每次跳跃覆盖了更大的范围。
封闭解的优势
指数分布有一个特殊性质：它是 无记忆的。如果您知道某个跳跃超过了某个障碍 x，那么其超出部分（跳跃 − x）与一个全新的跳跃具有完全相同的分布。这正是 Kou 模型能够给出闭式障碍期权价格的原因。
想想障碍期权需要什么：您需要知道价格在跨越障碍之后 落点的分布。对于高斯跳跃（Merton），超出部分的分布是一团乱麻——它取决于您越过障碍多远。而对于指数跳跃，超出部分是无记忆的：给定您已跨越障碍的条件分布与无条件分布相同。这使得数学运算变得可处理。
结果：Kou（2004）为敲入/敲出障碍、回望期权和永续美式期权推导出了封闭解。Merton 没有此类公式。如果您为奇异期权定价并需要解析希腊字母，Kou 胜出。
左侧面板显示了标有阈值 x 的完整指数密度。阴影区域是超过 x 的概率。右侧面板显示了超出部分 (Y − x), given Y > x. 的条件密度。滑动阈值：条件密度的形状始终与原始密度相同。这就是无记忆性质。
移动 η，注意两个面板会以相同的方式重新缩放。超出部分的形状从不取决于您将阈值设在何处。对于障碍期权定价而言，这意味着障碍处的超出部分分布可以通过解析方式得知——无需模拟。
Kou vs Merton vs Heston
每个模型都有其作用。理解 Kou 相对于 Merton 和 Heston 的定位是最后一块拼图。
Kou： 非对称跳跃、独立的翼控制、闭式奇异期权。最适合具有明显崩盘非对称性的市场（加密货币、单一名称股票），以及当您需要解析的障碍或回望期权价格时。
Merton： 更简单、对称的跳跃。参数更少。当微笑大致对称或您只对普通期权定价时已经足够好。它是跳跃模型的行业起点。
Heston： 随机波动率、无跳跃。通过波动率-现货相关性（ρ）生成偏斜。在波动率的波动率驱动期限结构的长期限中占主导地位。无法产生跳跃所创造的短期限翼的陡峭度。
上面的图表叠加了具有相同总跳跃方差的 Kou 和 Merton 微笑。两个模型在总量上都添加了相同数量的跳跃风险，但 Kou 将其中更多的部分分配给了左尾。请注意 Kou 的左翼如何更肥厚（更陡峭的 Put 翼），而其右翼则更薄。Merton 则更均匀地分配风险。
Black-Scholes： 平坦的微笑。没有偏斜，没有翼。
Merton： 微笑带有翼部。对称跳跃分布意味着两侧翼部同步移动。适合短期香草期权。
Kou： 微笑带有独立的 翼部。非对称跳跃分布。障碍期权和回望期权具有闭式解。更适合加密资产。
Heston： 由随机波动率产生的微笑。在长期限下依然存在。没有跳跃，因此短期翼部过于平坦。
Bates： Heston + Merton 跳跃。主力模型。对于要求最苛刻的应用，可用 Kou 式双指数跳跃替换 Merton 跳跃部分。
接下来去哪里：
Merton 跳跃扩散模型 —— 对称跳跃的前身
Variance Gamma —— 一种完全没有扩散的纯跳跃模型
Heston 模型 —— 随机波动率，无跳跃
Bates 模型 —— Heston + 跳跃：业界的主力模型