局部波动率

信息

本页介绍 Dupire 局部波动率模型。关于它如何融入波动率曲面构建流程，请参阅波动率曲面的构建方式。关于与其他方法的对比，请参阅插值方法。

局部波动率是标的资产在特定价格水平和特定时间点的瞬时波动率。它是这样一个函数 $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$：当代入扩散模型时，能精确复现所有观测到的欧式期权价格。

该思想由 Bruno Dupire（1994）和 Derman & Kani（1994）独立提出。它是唯一无需任何额外假设即可匹配完整隐含波动率曲面的模型。

隐含波动率与局部波动率

关键洞察：隐含波动率是沿着通往到期日的路径上各个局部波动率的混合平均值。局部波动率则是瞬时的、"逐点的"波动率。

隐含波动率 vs 局部波动率

典型的股票/加密货币微笑曲线。局部波动率高于隐含波动率，且形态更尖。

局部波动率（实线）始终比隐含波动率（虚线）更尖。隐含波动率是路径上各局部波动率的加权平均。

在不同的微笑形状之间切换，并注意：

• 局部波动率总是更陡峭。 由于隐含波动率是对路径的平均，它平滑了极端情形。局部波动率展示的是原始的、未经平均的画面。
• 隐含偏斜越陡，局部波动率越剧烈。 在陡峭偏斜的情形（危机）下，局部波动率在左翼发散。这相当于模型在说："如果现货跌至那么低，瞬时波动率需要非常高才能匹配观测到的 Put 价格。"
• 这种关系类似于即期利率与远期利率。 隐含波动率是即期利率（从现在到到期的平均值）。局部波动率是远期利率（未来某一点的瞬时利率）。

局部波动率的含义

设想标的资产价格在波动率的地形中演变。在（价格、时间）空间的每一点，都有一个特定的波动率。随着标的资产的游走，它会经历不同的瞬时波动率。

一个 30 天、隐含波动率为 50% 的 ATM 期权，沿其路径可能穿越 40% 到 65% 之间的局部波动率。50% 的隐含波动率是所有这些局部波动率在风险中性下的平均值，按在每个水平停留的时间加权。

这就是为什么两个行权价不同的期权可以有不同的隐含波动率，即使它们依赖于同一个标的过程：它们穿越了局部波动率地形的不同部分。

何时使用局部波动率

奇异期权定价

局部波动率的主要用例。工作流程如下：

1. 观察市场上的欧式期权价格（或隐含波动率）
2. 拟合一个无套利的隐含波动率曲面（使用 SVI、SSVI 或类似方法）
3. 通过 Dupire 公式推导出局部波动率曲面
4. 使用局部波动率曲面构建数值定价引擎（有限差分 PDE 或蒙特卡洛）
5. 通过让标的资产在局部波动率地形中演变来为奇异期权定价

这个保证是： 任何在局部波动率下定价的奇异期权都与所有观测到的欧式期权价格一致。您的障碍期权价格不会与普通期权相矛盾，这对对冲很重要。

曲面一致的希腊值

在局部波动率下计算的希腊值考虑到了波动率会随现货移动而变化这一事实。局部波动率下的 Delta 与 Black-Scholes Delta 不同，因为模型"知道"移动到不同的现货水平意味着经历不同的局部波动率。这在概念上类似于 Taleb 所称的"影子 Gamma"：由于现货移动导致波动率变化而产生的额外 Delta 变化。

动态问题

局部波动率有一个众所周知的弱点：它预测的微笑动态是错误的。

在局部波动率下，波动率是现货的确定性函数。一旦您知道现货在哪里，就能精确知道波动率是多少。波动率中没有"意外"。这意味着：

• 当现货下跌时，局部波动率会说波动率在这个价格上本来就注定这么高。微笑变平。
• 在实践中，当现货下跌时，波动率往往比局部波动率预测的上升得更多，微笑变陡。

结果是：局部波动率会系统性地低估依赖于未来微笑形状的期权（障碍期权、远期启动期权、cliquet 期权）。

局部波动率与其他模型

	局部波动率	SVI	SABR
它是什么	每个 (S, t) 处的瞬时波动率	参数化微笑形状	随机波动率模型
可观测？	否（推导得出）	否（拟合得出）	否（拟合得出）
精确校准	是（构造上保证）	近似	近似
微笑动态	错误（确定性）	未指定	更好（随机）
奇异期权定价	是（主要用途）	否	有限
速度	慢（PDE/MC）	快	快（公式）
最适合	障碍期权、亚式期权、奇异期权	普通期权定价、风险	互换期权、外汇普通期权

与其他模型的联系

从隐含波动率到局部波动率： Dupire 公式。需要一个无套利的隐含曲面作为输入。

从局部波动率到隐含波动率： 在局部波动率曲面下运行一个前向 PDE，为欧式期权定价，反演得到隐含波动率。这在构造上可精确往返。

SABR 与局部波动率： SABR 的 $\beta$ 参数控制局部波动率的主干（$\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$），而 $\nu$ 在其上添加了一个随机层。SABR 可以看作是带有额外动态的局部波动率的参数化近似。

SVI 与局部波动率： SVI 为您提供隐含曲面。Dupire 随后为您提供局部波动率。链条为：市场报价 -> SVI 拟合 -> 隐含曲面 -> Dupire -> 局部波动率 -> 奇异期权定价器。

建立数学直觉

从零开始学习局部波动率交互式课程 · 涵盖 Dupire 公式

上面的交互式课程从第一性原理讲解 Dupire 局部波动率模型：为什么隐含波动率是局部波动率的路径加权平均值、Dupire 公式如何从观测价格中提取局部波动率、隐含波动率微笑与局部波动率曲面之间的关系，以及为什么局部波动率对路径依赖型奇异期权的定价很重要。

开源实现

代码库	为什么值得研究
QuantLib	带有 FD 定价引擎的 Dupire 局部波动率
OpenGamma Strata	从市场数据构建局部波动率曲面
RustQuant	用 Rust 实现的局部波动率定价

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另请参阅：

• SVI 参数化 - 用于构建隐含曲面的模型
• SABR 模型 - 一种随机波动率的替代方案
• 插值方法 - 所有方法的对比
• 波动率曲面的构建方式 - 完整流程