从零开始学局部波动率
1/5隐含波动率是一种加权平均
局部波动率中最重要的一个概念：您对某个给定行权价和到期日观察到的隐含波动率并不是该点的波动率。它是沿途所有局部波动率的路径加权平均。
把它想象成一次公路旅行。限速在各个城镇之间不断变化（这些就是局部波动率）。您整个旅程的平均速度就是您的隐含波动率。两次到达同一目的地的旅程可能有不同的平均速度，因为它们经过了不同的城镇。
下方，每条路径都从 S=100 开始，并结束于相同的终端价格。但每条路径穿越不同的价格区域，每个区域都有自己的局部波动率。隐含波动率就是所有这些路径的平均值。
增加更多路径，观察平均波动率趋于稳定。每条路径根据其访问的价格水平经历不同的局部波动率。背景阴影显示局部波动率的分布——越亮表示波动率越高。
什么是局部波动率？
局部波动率是在特定（价格、时间）点上的瞬时波动率。它是一片分布：在每个现价和每个时刻，都有一个特定的波动率值。
该模型指出：如果标的资产在时间 t 处于价格 S，则瞬时波动率恰好为 σ(S, t)。波动率本身没有随机性——它是价格所处位置和时间的确定性函数。
将鼠标悬停在下方热力图上，查看每个点的局部波动率值。注意其模式：低现价（左侧）波动率较高，高现价（右侧）波动率较低。这种不对称性产生了隐含波动率偏斜。
局部波动率就像一张风速地形图。在每个（纬度、经度）上都有一个特定的风速。一艘从 A 航行到 B 的船，会根据其航线经历不同的风。整个航程的平均风速就像隐含波动率。而每个单独点上的风速就是局部波动率。
Dupire 公式
Dupire 证明了您可以直接从观察到的期权价格中提取局部波动率曲面。该公式使用看涨期权价格函数的两个偏导数。
∂²C/∂K²——看涨期权价格在各行权价上的曲率。这是终端价格的概率密度（即蝶式价差）。当此项为零时，存在蝶式套利，局部波动率无定义。
下方网格显示用带偏斜的隐含波动率曲面计算的 Black-Scholes 看涨期权价格。点击任意内部单元格以选中它。在两个导数视图之间切换，查看哪些相邻单元格对分子和分母有贡献。
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
分子（∂C/∂T）衡量市场为更长期限所赋予的额外时间价值——这就是远期波动率信息。分母（∂²C/∂K²）是风险中性概率密度。它们的比值分离出该 (K, T) 点上的瞬时方差。
从微笑到曲面
隐含波动率微笑——IV 在各行权价上的曲线——映射到整个局部波动率曲面。调整微笑形状会改变局部波动率的分布。
使用下方滑块改变隐含波动率微笑：它的基准水平、偏斜（倾斜）和曲率（凸性）。左侧面板显示 IV 微笑。右侧面板显示通过 Dupire 计算得出的局部波动率热力图。
需要注意的关键点：
局部波动率总是比隐含波动率更极端。 因为隐含波动率是对路径的平均，它平滑了局部波动率的峰谷。增大曲率，观察局部波动率的翼部变得更加显著。
增加偏斜会使局部波动率不对称地移动。 负偏斜（股票/加密市场中典型）会在左侧（低现价）产生更高的局部波动率，在右侧产生更低的局部波动率。
为什么它对奇异期权很重要
对于普通期权，隐含波动率就足够了。但对于任何路径依赖的期权——障碍期权、亚式期权、回望期权——您需要知道波动率在路径上各处的情况，而不仅仅是终端平均值。
向下敲出看涨期权的到期收益类似普通看涨期权，除非价格在途中触及障碍。触及障碍的概率取决于价格在障碍水平附近所经历的波动率。两个不同的局部波动率曲面可以产生相同的普通看涨期权价格，但障碍期权价格却天差地别。
这是支持局部波动率的核心论点：它使您的奇异期权价格与普通期权保持一致。 在局部波动率下定价的任何障碍或路径依赖期权，都保证不会与观察到的普通期权价格相矛盾。您得到一个统一的模型，而不是临时的调整。
需要注意的是：局部波动率预测出错误的微笑动态（波动率是确定性的，因此无法带来意外）。在实践中，交易台使用随机局部波动率 (SLV)——用局部波动率保证校准精度，再加上一个随机成分以获得真实的动态。