从零开始学 Merton 跳跃扩散模型
1/5Black-Scholes 无法处理崩盘
Black-Scholes 假设价格连续变动——一小格一小格地移动，不允许瞬移。99% 的时间这没问题，但正是剩下的 1% 会让您爆仓。
市场会跳空。财报公告、地缘政治冲击、协议漏洞被利用——价格瞬间从一个水平跳到另一个水平，中间没有任何过渡。只懂扩散的模型根本无法为这些事件赋予概率。
Robert Merton 的修正（1976）：保留扩散，但附加第二个随机性来源——一个 泊松过程 它在随机时刻触发。一旦触发，价格就按从对数正态分布中抽取的随机幅度跳变。
dN——泊松计数器。通常为 0，偶尔为 1（发生一次跳跃）。
J——跳跃乘数。ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²)。若 J = 0.9，价格瞬间下跌 10%。
λ——每年平均跳跃次数。k = E[J − 1]——补偿项，使漂移项保持干净。
下方是 Merton 模型下的三条模拟价格路径。大部分时间路径是平滑的扩散，随后出现一条竖线——那就是一次跳跃。调高 λ 可看到更频繁的跳跃；或将 μJ 调得更负，观察类似崩盘的行为。
把扩散想象成走过一个房间：您迈着连续的小步。现在在地板上加几扇活板门。大多数步子都正常，但偶尔您会掉进活板门，落到意想不到的地方。这就是跳跃部分。
三个新参数
在常规的 σ（扩散波动率）之外，Merton 增加了三个参数，共同控制隐含波动率微笑的形状。每个参数各司其职。
λ（lambda）——跳跃频率。 平均每年跳跃多少次。较高的 λ 意味着跳跃更常见，会同时抬升微笑的两翼。若 λ = 0，就回到了 Black-Scholes 的世界。
μJ（mu-J）——平均跳跃幅度。 若为负，跳跃以向下为主（崩盘）。这会使微笑倾斜——左翼（看跌期权）变得比右翼（看涨期权）更贵。若为零，跳跃对称，微笑也大致对称。
σJ（sigma-J）——跳跃幅度的波动率。 跳跃幅度的变化程度。即使 μJ = 0，较高的 σJ 也意味着有些跳跃很大、有些很小。这会带来超额峰度——比正态分布更肥的尾部——从而加大两翼的曲率。
试试上面的滑块。三个可尝试的实验：
1. 设 λ = 0。微笑变平——纯 BS。
2. 设 λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05。您会得到陡峭的下行偏斜——市场对崩盘的预期高于对暴涨的预期。
3. 设 μJ = 0, σJ = 0.30。两翼对称抬升——纯肥尾，无方向性偏差。
定价公式
Merton 的定价公式很优雅：期权价格是 Black-Scholes 价格的加权和，每一项对应一种可能的跳跃次数。如果您能为普通的 BS 看涨期权定价，您就能为 Merton 定价。
σn² = σ² + nσJ²/τ——每多一次跳跃就增加更多有效方差。
权重是一个泊松概率——即恰好发生 n 次事件的概率，时长为 τ.
实践中，取 10–15 项就足够了，因为泊松权重衰减很快。
下方的可视化将 Merton 价格分解为前六项。左图显示您所选行权价下各项的柱形；右图显示各项在所有行权价上的叠加情况——您可以看到在平值 (ATM) 与两翼处分别由哪些项主导。
关键观察：n=0 项（零次跳跃）就是普通的 Black-Scholes 价格。更高阶的项逐步为两翼增加价值，因为跳跃推高了有效波动率，使远端行权价变得可及。
把行权价滑块移到两翼（K=80 或 K=120），观察高阶 n 项的相对重要性如何上升。在平值 (ATM) 处，n=0 占主导；在两翼，n=1 和 n=2 开始发挥重要作用——跳跃溢价正是来自这里。
跳跃风险无法对冲
在 Black-Scholes 中，Delta对冲可以消除全部风险——您持续再平衡，扩散风险相互抵消。有了跳跃，这一点就失效了：跳跃瞬间发生，您根本来不及再平衡。
想一想：Delta对冲的原理是根据小幅价格变化调整您的标的资产头寸。但跳跃并不小——价格是瞬移的。等您能作出反应时，损失（或意外之财）已成定局。您的对冲头寸是按跳跃前的价格配置的，而不是跳跃后的价格。
这意味着 Merton 市场是不完备的。仅靠标的资产和债券无法复制所有到期收益。跳跃风险是市场必须为之定价的独立风险因子。这就是为什么现实世界中的期权价格高于 BS Delta对冲逻辑所隐含的水平。
多点击几次“重新生成”并观察规律。在左侧 BS 面板中，累计盈亏 (PnL) 会波动但相对可控——对冲在正常发挥作用。在右侧 Merton 面板中，PnL 大多数时候看起来类似，但随后会出现一条红色竖线（一次跳跃），PnL 随之剧烈跳动。
跳跃引发的 PnL 冲击在 μJ < 0 时是不对称的：向下跳跃对对冲者（Gamma 空头）造成的伤害，大于向上跳跃带来的帮助。这正是防崩盘看跌期权带有溢价的根本原因——必须有人因承担这种不可对冲的跳跃风险而获得补偿。
Merton vs. Heston vs. 现实
Merton 擅长短期限微笑，Heston 擅长长期限微笑。现实两者都需要——这正是 Bates 模型（Heston + 跳跃）成为行业主力模型的原因。
关键区别在于：
短期限时跳跃占主导。 1 周期权对于随机波动率有意义地“扩散”来说太短了。但单次跳跃仍然可以到达遥远的行权价。Merton 的跳跃成分是短期两翼价格的主要驱动因素。
长期限时随机波动率占主导。 在 6 个月的时间里，波动率本身的上下游走就足以自行产生肥尾。跳跃事件在平均化中被“稀释”——252 个交易日中的一次跳跃，其影响远小于 5 个交易日中的一次跳跃。
长期限两翼 → 波动率的波动率 → Heston
两者兼有 → Bates = Heston + Merton 跳跃
实际后果：如果您用 1 个月期权校准 Merton，再用它为 1 年期权定价，长期限微笑会过于平坦。跳跃部分随 √τ 衰减，但由于波动率本身存在不确定性，市场微笑在长期限上依然抬升。
反过来，仅用 Heston 会低估短期限两翼的价格。波动率过程变化太慢，无法产生市场所要求的极端短期限峰度——这需要跳跃来实现。
Black-Scholes： 微笑平坦。无偏斜、无两翼。最简单的基准。
Merton： 两翼抬升的微笑，短期限尤甚。当 μJ < 0 时出现偏斜。随着期限拉长、跳跃被稀释，微笑趋于平坦。
Heston： 源于波动率的波动率的微笑。微笑在长期限上持续存在。通过波动率与现货的相关性（ρ）产生偏斜。
Bates： Heston + Merton 跳跃。可拟合从短期限到长期限的微笑期限结构。股票与加密市场的行业标准选择。