路径依赖波动率 (PDV)
本站的每个模型都假设波动率取决于价格当前所处的位置——当前的价格水平，或许还有当前的波动率状态。路径依赖波动率 (Guyon & Lekeufack, 2023) 认为这还不够。波动率还取决于价格曾经所处的位置。一个从暴跌10%后回升到 100 的币种，交易方式并不相同。经历过暴跌与回升的币种具有更高的隐含波动率、更陡峭的偏斜以及更宽的两翼——因为市场记得那次暴跌。
市场是有记忆的
如果 BTC 刚刚经历了15%的回撤，即使价格已经回升，波动率仍会维持在高位。PDV 将波动率建模为两个因素的函数：近期已实现波动率和近期价格趋势。这就是整个模型。波动率曲面会根据价格路径而变化，而不仅仅是当前价格。
实际演示
在暴跌回升路径和横盘路径之间切换。两者最终收于相同的价格，但产生不同的波动率微笑。拖动记忆滑块，查看回溯窗口如何改变这一效果。
路径依赖波动率
在不同情景之间切换，可查看相同的当前价格如何因近期路径不同而产生不同的微笑曲线。拖动记忆滑块，可查看回溯窗口如何改变这一效果。
工作原理
1. 来自价格路径的两个输入
PDV 将近期价格历史提炼为两个数字：
2. 波动率是这两个输入的函数
模型认为：任意行权价上的隐含波动率是当前现货价格加上这两个路径概要的函数。没有随机波动率状态变量，没有分数阶微积分，没有隐马尔可夫链。只有一句话："价格在哪里，波动了多少，方向是哪个？"
3. 无需粗糙模型即可实现粗糙波动率行为
这一设定重现了若干"棘手"的现象：
- 波动率聚集——高波动率引发高波动率，因为近期已实现波动率维持在高位
- 杠杆效应——下跌比上涨更能提升波动率，因为趋势输入会使函数产生偏斜。产生随近期收益率变化的偏斜。
- 类似粗糙波动率的标度特性——波动率路径表面上的粗糙性自然地从路径依赖中涌现，无需分数阶布朗运动
- SPX/VIX 联合校准——该模型可同时校准指数期权和 VIX 期权，这是大多数模型无法做到的
为什么这对加密货币很重要
加密货币市场具有极强的路径依赖性。在一次强制平仓连环爆发之后，即使价格已经回升，波动率仍会连续数天维持在高位。在长时间的缓慢上涨之后，波动率会压缩。PDV 能直接捕捉这一点。传统模型将每个价位为 6万美元的 BTC 都同等对待——而 PDV 会把"从7万暴跌后的6万"与"从5万上涨后的6万"区别对待。这一区别对定价和 Delta 对冲都很重要。
PDV 与其他模型的对比
优势与局限
最简单的路径依赖波动率模型
PDV 使用近期已实现波动率和近期趋势来解释随机波动率模型所遗漏的微笑动态。它重现了粗糙波动率、波动率聚集和杠杆效应，无需复杂的数学。PDV 下的 Vega 与 Black-Scholes 不同，因为路径状态会改变微笑形状。代价在于：它较新、需要蒙特卡洛模拟，并且依赖于回溯窗口的选择。
公式浏览器
在隐含波动率、总方差、对数价值状态和期权价格之间进行转换。
公式探索器
💡 提示： 先尝试自己回答每个问题，再查看答案。
另请参阅：
- SABR 模型 —— 无路径依赖的经典随机波动率模型
- Rough Bergomi —— PDV 可近似的分数阶波动率模型
- Heston 模型 —— 均值回复的随机波动率（马尔可夫，无路径记忆）
- 神经 SDE / 深度对冲 —— 另一种数据驱动的波动率建模方法
- 波动率机制 —— 理解 PDV 自然捕捉的各种机制