从零开始学 Rough Bergomi
1/5波动率具有粗糙路径
当研究人员测量已实现波动率在高频下的行为时，他们发现了打破所有经典模型的现象：波动率增量的自相关性以幂律衰减，而非指数衰减。波动率路径远比任何人设想的更为参差不齐。
在 Heston、SABR 或任何基于扩散的模型中，方差过程由标准布朗运动驱动。BM 的 Hurst 指数为 H = 0.5，意味着其增量不相关。由此产生的路径连续，但在直观意义上「大部分时间」都足够平滑以可微。
Gatheral、Jaisson 和 Rosenbaum（2018）测量了股票指数和个股的已实现波动率。他们研究了对数波动率增量的自相关性如何随滞后而衰减。结果是：它以幂律衰减，γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0.1。不是 H = 0.5。不是 H = 0.3。H 接近于零。
想象用尺子画一条线，与在有人不断撞您手肘时用笔乱涂之间的区别。经典模型用的是尺子。粗糙波动率认为乱涂更接近现实。笔在每个时间尺度上不断改变方向，而不仅仅在某个均值回归 OU 过程的频率上。
H ≈ 0.1 在实践中意味着什么？波动率增量 强烈负相关。如果波动率在过去五分钟内上升，那么它在接下来五分钟内更有可能下降。这种在每个时间尺度上都存在的持续反转，正是使路径看起来粗糙的原因——参差不齐、呈现分形，像海岸线而非高速公路。
这不是一种建模选择，而是在股票、指数、外汇和加密资产中普遍观察到的经验事实。H ≈ 0.1 的普遍性是现代金融计量经济学中最引人注目的发现之一。
拖动上方的滑块。在 H = 0.5 时，所有滞后阶数的自相关性均为零——标准 BM，无记忆性。当您将 H 降低至接近 0.1 时，自相关性变为强烈负值。增量呈反相关。这就是粗糙性。
H 控制着什么
H 是 Hurst 指数。它是决定一个随机过程看起来粗糙还是平滑的单一数字。粗糙波动率理论中的一切都源于 H 远小于 0.5。
H = 0.5: 标准布朗运动。这是 Heston 使用的模型。增量互不相关。路径连续但不可微。这是经典金融学假设的“默认”粗糙度。
H < 0.5: 粗糙。增量呈反相关。H 越小，路径越粗糙。当 H = 0.1 时，路径看起来就像由地震仪绘制的一样。每一次向上的摆动之后很可能跟随一次向下的摆动，在每个时间尺度上都是如此。
H → 0: 极度粗糙。在极限情况下，路径变得如此参差不齐，以至于几乎不连续。就实际用途而言，H ≈ 0.1 已经足够粗糙，能够匹配真实市场。
H > 0.5: 平滑（持续性）。增量呈正相关。路径具有趋势性。这一区间与波动率无关，但出现在某些水文学和网络流量模型中。
上方面板并排显示了 H = 0.1、0.3 和 0.5 时的三条方差路径。视觉上的差异非常显著。在 H = 0.5 时路径平滑蜿蜒。在 H = 0.1 时它看起来像电视屏幕上的雪花噪点——不断反转、峰谷参差。
使用底部面板的滑块连续扫描 H。观察路径如何随着您降低 H 而从平滑变为粗糙。这不是某个特定模型的参数——而是真实波动率数据的一个可测量属性。
粗糙 Bergomi 模型
Bayer、Friz 和 Gatheral（2016）采纳了粗糙波动率的实证发现，并围绕它构建了一个定价模型。方差过程由分数布朗运动而非标准 BM 驱动。其结果优雅、简约且非马尔可夫。
η (eta): 波动率的波动率（vol-of-vol）。控制方差偏离远期曲线的程度。更高的 η = 更宽的微笑曲线。
WH(t): 带有 Hurst 指数 H 的分数布朗运动。这就是粗糙驱动因子。
−½η²t2H: 凸性修正，确保 E[v(t)] = ξ₀(t)。该模型自动校准到方差期限结构。
标的价格遵循带有瞬时方差 v(t) 的通常对数正态扩散：
数一数自由参数：H（Hurst 指数）、 η（vol-of-vol），以及 ρ（现货-波动率相关性）。总共三个参数，再加上从市场读取的远期方差曲线 ξ₀(t)。相比之下，Heston 有五个自由参数。该模型更为简约。
与 Heston 的关键区别在于： 这个模型不是马尔可夫的。在 Heston 中，方差的未来只取决于当前的方差水平。而在 rough Bergomi 中，未来取决于整条路径的历史。分数 BM 天生具有长程依赖性。您无法用单个数字来概括系统状态。
在上方的马尔可夫与粗糙之间切换。两条方差路径在「NOW」时刻到达相同的水平，但它们通过不同的路径抵达。在 Heston（马尔可夫）中，它们的未来分布完全相同——模型没有记忆。在粗糙 Bergomi 中，一直上升的路径与一直下降的路径拥有不同的未来锥。历史被融入了动态之中。
如果您是波动率交易者，看到 30 天已实现波动率为 45%，您会想知道：它是从 20% 飙升而来（可能快速均值回归），还是从 40% 缓慢磨升而来（可能持续）？Heston 无法区分这两种情形。粗糙 Bergomi 可以。路径历史包含着关于未来的信息。
为什么粗糙波动率能解释短期微笑
粗糙波动率理论的杀手级应用：它预测 ATM 偏斜按 T 缩放H−0.5。当 H = 0.1 时，这意味着偏斜在短期限时会急剧放大——正是加密和股票市场所呈现的情形。
ATM 偏斜是隐含波动率作为对数价值状态函数的斜率，在平值处求值。每个随机波动率模型都预测该偏斜与到期期限 T 之间的特定关系：
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4。偏斜随 T → 0 而急剧放大。与真实数据相符。
这是整个粗糙波动率研究的关键结论。经典模型预测的偏斜期限结构在近端过于平坦。它们能拟合 3 个月的偏斜，但难以应对 1 周或 1 天的偏斜。交易者多年来一直知道，短期微笑比 Heston 预测的更陡峭。粗糙波动率解释了原因：标的方差过程的粗糙度直接控制着偏斜随到期期限缩短而增长的速度。
上方图表在对数尺度上显示了三种情形。在 H = 0.1（绿色）时，偏斜曲线陡峭——短期偏斜远大于长期偏斜。在 H = 0.5（红色，类似 Heston）时，曲线几乎平坦。黄点是 BTC 实证数据，它们紧密贴合 H = 0.1 的曲线。
这并非巧合。当您从 BTC 已实现波动率数据中测量 H 时，得到 H ≈ 0.1。当您观察 BTC 期权隐含的偏斜期限结构时，它按 T−0.4 缩放。理论与数据相符。
为什么 Heston 会算错这一点： Heston 的 CIR 方差过程由标准 BM（H = 0.5）驱动。它无法产生指数低于零的幂律偏斜衰减。您可以通过加大 σ (vol-of-vol)，但这违反了 Feller 条件并会引发数值问题。Rough Bergomi 无需任何参数扭曲，即可自然实现陡峭的短期 skew。
定价挑战
粗糙 Bergomi 在理论上优美，在实证上有依据。但它使用成本高昂。没有闭式价格，没有 PDE，没有快速傅里叶技巧。只能用蒙特卡洛，而由于非马尔可夫结构，即便如此也很慢。
没有闭式特征函数。 Heston 的杀手级特性是其通过傅里叶反演实现的半解析定价。Rough Bergomi 不具备这一点。分数布朗运动驱动因子破坏了使 Heston 特征函数可解的仿射结构。
只能用蒙特卡洛。 要在 rough Bergomi 下为一份普通期权定价，您需要模拟方差过程的路径、计算终端现货价格并对到期收益取平均。标准蒙特卡洛收敛速度为：1/√N。要获得精确到 1 个基点的价格，您需要大量路径。
模拟 fBM 代价高昂。 标准布朗运动是马尔可夫过程：模拟下一步只需当前值。fBM 是非马尔可夫过程：要正确模拟下一步，您需要整条路径的全部历史。朴素的 Cholesky 分解在内存上每条路径耗费 O(N²)，在时间上耗费 O(N³)，其中 N 是时间步数。对于长路径而言这非常残酷。
混合方案。 Bayer、Friz 和 Gatheral 提出了一种混合方案，将 fBM 核拆分为“近”部分（精确计算）和“远”部分（用少量基函数近似）。这将成本降低到每条路径大约 O(N · log N)，使得校准变得可行，但对于交易台的实时定价仍然不够快。
没有 PDE。 像 Heston 这样的马尔可夫模型可以通过 PDE（有限差分）定价。这提供了快速的基于网格的定价。非马尔可夫模型没有有限维的状态空间，因此您无法写出 PDE。“非马尔可夫性的诅咒”在于状态是无限维的（整条路径历史）。
Rough Bergomi 在实践中的定位：
1. 研究与校准分析。 学术界和量化研究人员用它来验证 rough vol 假设，并作为其他模型的基准。如果您的快速模型（SVI、SABR）给出的 skew 与 rough Bergomi 预测的不同，您就知道有些地方出了问题。
2. 隔夜校准。 一些交易台在夜间运行 rough Bergomi 校准作为一种诊断手段。它可以告诉他们白天使用的快速模型是否遗漏了 skew 动态。
3. 启发直觉。 即使您从不实盘运行该模型，理解 rough vol 也会改变您对短期期权的思考方式。当 1 天期的 skew 看起来比您的模型预测的更陡峭时，rough vol 会告诉您这是正常的——这是市场的 rough 方差路径在显现。
4. 神经网络代理。 近期的研究训练神经网络来近似 rough Bergomi 价格。网络离线学习从参数到价格的映射（使用慢速蒙特卡洛），然后在运行时以毫秒级速度进行评估。这最终可能使 rough vol 在生产环境中可用。
Rough Bergomi 处于数理金融与计量经济学的交汇处。它是罕见的由一项测量（H ≈ 0.1）直接决定模型的案例之一。大多数模型都是先被发明、后被拟合。而 rough vol 是先在数据中被发现、后被形式化的。正是这种实证基础，使得学界尽管面对高昂的计算成本仍认真对待它。