从零开始学随机局部波动率

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第 1 节

局部波动率：价格正确，但动态错误

Dupire 的局部波动率模型做了一件非凡的事情：它能同时完美校准市场上每一个普通期权的价格。零校准误差。问题在于接下来会发生什么。

局部波动率为每个现货水平和每个时间点分配唯一的波动率 σ(S, t)。给定观测到的香草期权价格曲面，恰好存在唯一一个能复现所有价格的局部波动率函数。该构造是确定性的——无需优化、无残差误差。

Dupire 局部波动率

dS = σ_loc(S, t) · S · dW

一个布朗运动。一个 SDE。整条微笑曲线都编码在函数 σ_loc(S, t) 之中。

那么问题出在哪里？动态。局部波动率会预测微笑随现货变动的演化方式，而这个预测错得很离谱。

当现货下跌 5% 时，局部波动率认为微笑的左翼应当 变平。模型读到更低的现货价格，从而索引到 σ_loc 的另一切片，而该处恰好更平坦。但在真实市场中恰恰相反：5% 的抛售会使微笑变陡 ，因为已实现波动率正在上升，对下行保护的需求也在增加。

思维模型

局部波动率是今天微笑曲线的一张完美照片。但照片不会移动。当现货价格变动时，局部波动率通过在同一张静态表格中查找不同的列来预测新的微笑曲线。与此同时，市场已经对整张表格重新定价了。

这对奇异期权至关重要。障碍期权的价值取决于现货接近障碍水平时微笑的形态——而不仅仅是今天的形态。如果模型预测的未来微笑是错的，它就会给障碍期权错误定价、错误对冲。

第 2 节

随机波动率：动态正确，但价格错误

Heston、SABR 及其同类将波动率视为具有自身随机过程的随机变量。这产生了逼真的微笑曲线演变：当现货价格下跌时，波动率上升，微笑曲线变陡。但对今日普通期权价格的拟合充其量只是近似的。

像 Heston 这样的模型有五个自由参数。五个数字无法同时匹配所有行权价和到期日上数百个观测到的期权价格。拟合永远是一种折中——在 ATM 附近尚可，越往两翼越差。

您可以增加更多参数（双 Heston、带跳跃的 Bates），但差距永远无法完全消除。总会存在一定的校准残差。对于香草期权定价和做市而言，这些残差就是白白留在桌上的钱。

现货变动−5%后的微笑曲线：三种预测

Prices right, dynamics wrong

Dynamics right, prices wrong

Best of both worlds

当前微笑曲线

现货变动后的预测微笑曲线

上方三个面板说明了这一点。在现货下跌 5% 之后：

局部波动率预测微笑会变平——错误。

随机波动率 预测微笑曲线变陡 -- 没错，但请注意它一开始就没有完美匹配今天的微笑曲线。

SLV两者兼得：从今日的完美拟合出发，并以真实的方式演化。

交易员的困境

如果您在报价香草期权，局部波动率占优——它能精确定价。如果您关心现货变动时持仓的表现，随机波动率占优——它能预测真实的希腊字母。对于奇异期权定价，两者都需要。这正是 SLV 的用武之地。

第 3 节

SLV 两者兼得

随机局部波动率并行运行两个引擎：局部波动率部分负责校准，随机部分添加真实的动态。混合比率 α 控制两者的配比。

SLV 系统

dS = σ_loc(S, t) · L(S, t) · S · dW₁

dL = ν · L · dW₂

First line: 现货扩散将局部波动率函数 σ_loc 与随机杠杆 L 相结合。
Second line: L 遵循其自身的扩散，由波动率的波动率 ν驱动。
Special cases: 当 ν = 0 时，L 是确定性的，您得到纯局部波动率。当 σ_loc 为常数时，您得到纯随机波动率。混合比 α 控制总方差中有多少来自每个组成部分。

直觉理解：σ_loc(S, t) 就是已校准到市场的 Dupire 函数。乘以随机的 L 会扰动动态而不破坏校准——只要对 L 进行校准使扰动在平均意义上抵消。对 L 的这一校准正是杠杆函数的作用。

混合比 α（通常嵌入在波动率的波动率参数中）决定了有多少随机性进入 L，又有多少保留在 σ_loc 中。在一个极端（α = 0）下，所有方差都由局部波动率解释，微笑动态是确定性的。在另一个极端（α = 1）下，局部波动率是平的，随机过程驱动一切。

混合比例探索器

α（混合）0.50

α=0：纯局部波动率α=1：纯随机波动率

当前微笑曲线

现货变动−5%后的预测微笑曲线

拖动上方滑块，观察预测的未来微笑：

α = 0（纯局部波动率）：未来微笑相对今天几乎不动，左翼略微变平。这正是局部波动率的病态之处。

α = 1（纯随机波动率）：未来微笑显著变陡，波动率整体跳升。这更真实，但可能过度修正。

α = 0.5（平衡）：折中方案。微笑变陡但幅度适中。大多数生产环境的校准都落在这里。

第 4 节

杠杆函数

L(S, t) 是校准的粘合剂。其计算方式使得期望局部波动率——在所有随机路径上取平均——与市场相匹配。当混合平衡时，L 处处接近 1；当某一成分占主导时，L 就必须付出更多努力。

形式上，L(S, t) 由以下条件定义：

杠杆函数校准

σ_loc(S, t)² = E[σ_loc(S, t)² · L(S, t)² | S_t = S]

以现货为条件的期望有效方差必须等于 Dupire 局部方差。这确定了每个 (S, t) 点上的 L。

在实践中，L 通过前向 PDE（Fokker-Planck）或粒子方法（带密度估计的蒙特卡洛）进行数值计算。前向 PDE 将 (S, L) 的联合密度随时间向前推演，并在每个网格点提取 L。粒子方法模拟大量路径，按现货水平分组，并在每组内求解 L。

关键洞察：当 α 接近 0.5 时，L 在各处都接近 1，因为两个组成部分均匀地分担负载。当 α 接近 0 或 1 时，L 会形成结构——两翼出现峰值，ATM 附近出现谷值——因为一个组成部分几乎完成了所有工作，L 必须进行补偿。

杠杆函数热力图

α（混合）0.50

均衡混合（α ≈ 0.5）：L 保持在 1 附近。极端混合：L 会偏离以进行补偿。

上方热力图展示了 L(S, t) 在现货与时间维度上的分布。拖动混合滑块并观察：

平衡（α ≈ 0.5):均匀的深色。L 处处约等于 1，两个成分贡献相同。这是理想的运行点。

局部波动率主导（α ≈ 0):L 在两翼出现暖色（橙/红）区域。随机成分自身方差很小，因此 L 必须承担大量工作以匹配市场。

随机波动率主导（α ≈ 1):L 出现冷色（蓝色）区域。随机成分在某些区域过度校正，L 必须将其拉回。

第 5 节

奇异期权定价的标准

SLV 是各大银行在障碍期权、亚式期权和棘轮期权上实际运行的模型。它之所以是生产标准，是因为它是唯一能够同时校准到香草期权并给出站得住脚的奇异期权价格的模型。

障碍期权。敲出期权在现货触及障碍时失效。其价值关键取决于现货接近障碍水平时微笑的形态。局部波动率在那里给出错误的微笑；随机波动率动态正确但起始价格错误。SLV 两者兼得——由此得到的障碍期权价格与局部波动率的结果可能相差名义本金的数个百分点。

亚式期权。亚式期权对一段时间窗口内的现货取平均。取平均削弱了微笑动态的影响，因此 SLV 与局部波动率的差异在此较小。但差异仍不为零，交易大额名义本金的交易台对此非常在意。

棘轮期权 (Cliquet)。 定期重置的远期起始期权。它们对远期微笑曲线极为敏感 -- 即微笑曲线在每个重置日会呈现的样子。SLV 的优势在这里最为显著，因为 cliquets 本质上是对微笑曲线动态的押注。

复杂性的代价

SLV 并非没有成本。每当随机波动率参数变化，杠杆函数就必须重新计算，这使校准成为一个迭代过程：拟合随机波动率参数、计算 L、检查香草期权拟合、调整、重复。这一外层循环计算成本高昂，并在以下参数的选择上引入模型风险：α.

混合比的选择本身就是一种判断。不同的 α 值在匹配相同香草期权的同时会产生不同的奇异期权价格。银行通常通过校准流动性强的奇异交易（例如外汇中的障碍反转）或凭借对微笑动态对其头寸簿有多重要的专家判断来设定 α。

模型风险。混合比率是生产环境奇异期权定价中最重要的模型风险参数。两个使用不同 α 值运行 SLV 的交易台会在所有香草期权上达成一致，但在障碍期权上产生分歧。这不是缺陷——它反映了对微笑将如何演化的真实不确定性。

在加密货币市场：SLV 较少使用，因为奇异期权市场规模较小，且香草期权曲面本身噪声较大。多数加密货币交易台使用 SVI或 SSVI进行曲面拟合，并对路径依赖产品使用局部波动率或直接模拟。随着加密期权市场的成熟，SLV 会变得越来越重要。

延伸阅读：

Local Volatility——详解 Dupire 模型

Heston Model——SLV 中最常用的随机波动率引擎

SABR Model——无均值回归的随机波动率模型，在利率市场很流行

Vanna-Volga——由三个市场报价构建微笑的更简单方法