SVI 从零开始

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第 1 节

什么是 SVI？

SVI 的全称是 Stochastic Volatility Inspired（随机波动率启发）。它是一个含 5 个参数的公式，用于描述单一到期日下波动率微笑的形状。

大多数微笑模型在隐含波动率空间中工作。SVI 与众不同：它将总隐含方差参数化为对数价值状态（log-moneyness）的函数。这听起来像是绕了弯路，但事实证明它使无套利约束变得极其简单。

公式如下：

SVI 总方差

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

移动下方滑块，观察总方差曲线如何变化。x 轴为对数价值状态（负值 = 虚值 (OTM) 看跌期权，正值 = 虚值 (OTM) 看涨期权）。y 轴为总隐含方差。

总方差 w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

为什么使用“总方差”？

Black-Scholes 使用隐含波动率 (σ_imp)。但波动率同时取决于微笑形状和剩余到期时间。总方差 w = σ_imp² · T 将时间因素剥离，得到一个随到期期限单调递增的量。这种单调性正是保证无日历套利所需要的。

第 2 节

5 个参数

每个参数控制微笑的一个几何特征。逐一点击查看，观察发生了什么变化。

虚线是基准曲线（典型的看跌偏斜微笑）。彩色实线显示移动高亮参数时的变化，其他参数保持不变。

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

默认值：0.040虚线 = 基准曲线

两翼行为： 在远离 ATM 处，微笑逐渐趋近于直线。看跌翼的斜率为 b(1 − ρ)，看涨翼的斜率为 b(1 + ρ)。在典型的看跌偏斜下（ρ < 0），左翼更陡。

渐近斜率

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

这种有界的线性两翼是 SVI 的关键优势之一。微笑的外推永远不会产生离谱的数值。

第 3 节

从方差到波动率

SVI 给出总方差 w(k)。只需开一次平方根，就能得到熟悉的 IV 微笑。

从方差到 IV

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

将总方差除以剩余到期时间，再开平方根，即可得到每个行权价的隐含波动率。

下方两条曲线由同一组 SVI 参数生成。左图为总方差（SVI 所在的空间），右图为隐含波动率微笑（交易者思考的空间）。移动滑块，观察两图同步更新。

总方差 w(k)

隐含波动率 (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

注意方差曲线比波动率曲线更平滑、更接近“V 形”。平方根会压缩大值、拉伸小值，使波动率微笑看起来更圆润。

对从业者的意义： 拟合 SVI 时，您在方差空间中进行优化（公式所在的空间），但通过查看 IV 残差来评估拟合质量（交易者报价所在的空间）。

第 4 节

无套利约束

并非所有 SVI 参数组合都有效。有些会产生违反无套利条件的微笑。使用下方小工具找到边界。

有三个关键约束。任何一个被违反时，都会出现无风险获利机会——这意味着该微笑不可能是真实的市场风险定价。

蝶式约束

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

防止局部方差为负。若不满足，蝶式价差的成本为负——无风险套利。

非负最小值

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

微笑的最小值必须大于零。总方差为负在物理上不可能。

Roger Lee 矩公式

b(1 + |ρ|) ≤ 2

限制两翼的增长速度。实践中，对短期期权而言蝶式约束的约束力更强。

先试试下方的预设，再移动滑块观察边界。当任一约束被违反时，曲线会变红。

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

无套利 — 此微笑曲线安全

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

第 5 节

校准

给定市场观测到的隐含波动率，找出最能复现它们的 5 个 SVI 参数。请亲手试一试。

橙色圆点是模拟市场报价——一条距到期 30 天的真实感 BTC 微笑。绿色曲线是 SVI 拟合结果。竖线表示每个点的残差（误差）。

调整滑块以最小化 RMSE。点击“显示最佳拟合”查看接近最优的参数组合。

RMSE44.82%(较差)

SVI 拟合市场数据残差

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

实践中： 数值优化器（Levenberg-Marquardt 或 SLSQP）可在每个到期日 10 毫秒内完成此任务。优化器在满足第 4 节无套利约束的前提下，最小化加权残差平方和。

初始化很重要： 糟糕的初始猜测可能使优化器陷入局部极小值。常见做法：由 ATM 方差设定 a，由观测到的翼部斜率设定 b，取 ρ ≈ −0.3、m ≈ 0、σ ≈ 0.1。

延伸阅读：

SVI 参考页面 —— 完整参数表、拟合细节、变体

ORC Wing (Jump-Wing) —— 面向交易者的 SVI 重新参数化

SSVI —— 将 SVI 扩展至完整波动率曲面