从零开始学 Variance Gamma

1/5

第 1 节

时间本身是随机的

方差伽马（Variance Gamma）源于一个激进的想法：与其在扩散中加入跳跃，不如让时间本身随机化。布朗运动运行在一个随机时钟之上。

普通布朗运动使用日历时间：每秒就是一秒，绝对均匀。VG 认为市场有自己的内部时钟 —— 一个伽马过程 G(t) —— 它时而飞速前进，时而缓慢爬行。当时钟走得快时，布朗运动获得更多“有效时间”，产生大幅波动。当时钟怠速时，价格几乎不动。

结果是：肥尾自然地从时钟的随机性中产生，无需显式指定跳跃幅度分布。时钟快的时段产生大幅波动的集群，慢的时段则出现诡异的平静。这与流动性稀薄的加密货币订单簿的真实表现相符 —— 长时间毫无动静，随后突然爆发。

VG 过程

X(t) = θ·G(t) + σ·W(G(t))

W —— 标准布朗运动。
G(t) —— 均值速率为 1、方差速率为 ν 的伽马过程。这就是随机时钟。
θ —— 时钟内部的漂移（产生偏斜）。
σ —— 时钟内部的扩散波动率。

下图中，上方面板显示伽马过程 G(t) —— 随机时钟。虚线是日历时间（对角直线）。当 G(t) 跃升至对角线之上时，时间在快速流逝。下方面板显示由此产生的 VG 过程 —— 在随机时间 G(t) 处取值的布朗运动。

调高 ν 让时钟更不稳定。观察 VG 过程如何变得更狂野 —— 波动更大、聚集更多。这就是肥尾的产生机制。

Gamma 时钟与 VG 过程

G(t) — 随机时钟（Gamma 过程）

X(t) — VG 过程：随机时钟上的布朗运动

Gamma 时钟 G(t)

VG 过程 X(t)

线性时间（参考）

ν （时钟方差）0.25

思维模型

想象一部播放速度可变的电影。有些场景以慢动作播放（平静的市场），有些场景快进（恐慌抛售、强制平仓连锁反应）。底层影片是普通布朗运动，速度控制器是伽马过程。观众看到的 —— VG 过程 —— 已经把所有变速带来的戏剧性都内嵌其中。

第 2 节

三个参数

在所有微笑模型中，VG 的参数解释最为清晰。每个参数恰好对应一个统计矩。没有冗余，也没有相关性带来的麻烦。

σ（sigma）—— 扩散波动率。 随机时钟内部布朗运动的波动率，控制微笑曲线的整体水平。更高的 σ 会抬升整条曲线。这相当于 Black-Scholes 中的波动率。

θ（theta）—— 从属布朗运动中的漂移。 控制偏斜。若 θ < 0，过程在随机时钟内部向下漂移，微笑曲线随之倾斜 —— Put 翼比 Call 翼更陡。若 θ = 0，则微笑曲线对称。

ν（nu）—— 伽马时间的方差。 控制超额峰度（尾部肥厚程度）。更高的 ν 使时钟更随机，从而产生更肥的尾部和两侧更陡的翼。这正是把 VG 与 Black-Scholes 区分开来的参数。

VG 隐含波动率微笑

VG 微笑曲线

BS 平坦波动率 (σ)

θ 控制偏斜方向

ν 控制峰度／翼部水平

σ 控制基础波动率水平

σ (波动率)25%

θ (偏斜)-0.10

ν (峰度)0.20

三个实验：

1. Set θ = 0, ν = 0.01. 微笑曲线几乎平坦 —— 接近 Black-Scholes。时钟几乎是确定性的。

2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. 负偏斜加中等峰度。典型的加密货币微笑形态。

3. Set θ = 0, ν = 0.50. 对称但峰度极高。两翼同时飞升。“黑天鹅状态”。

一个参数对应一个矩

σ → 方差（二阶矩）。 θ → 偏度（三阶矩）。 ν → 超额峰度（四阶矩）。这是所有跳跃或随机波动率模型中对微笑形态最清晰的分离。Heston 有 5 个相互关联的参数，VG 只有 3 个正交的控制项。

第 3 节

它实际上是一个纯跳跃过程

尽管看起来像时间变换后的布朗运动（平滑 + 拉伸），VG 路径在技术上是纯跳跃的。每次变动都是一次跳跃。在日历时间中不存在连续的扩散成分。

这在理念上与 Merton 不同。在 Merton 模型中，价格大部分时间平滑移动（扩散），偶尔出现大跳跃。而在 VG 中，所有变动都是不连续的。该过程具有无限活动性 （任何区间内都有无限多次跳跃），但具有 有限变差（跳跃总幅度是有界的）。

这些跳跃中大多数极小，少数较大。在大量微小跳跃的极限下，路径看起来几乎连续 —— 可以用平滑曲线很好地近似。但放大到足够细，每次变动在技术上都是一次跳跃。相邻的两个价格之间没有连续路径相连。

纯跳跃 (VG) vs 扩散 + 跳跃 (Merton)

VG — 每次变动都是跳跃

Merton — 平滑 + 偶发大幅跳跃

VG（阶梯函数 — 全部为跳跃）

Merton（平滑 + 红色条 = 跳跃）

| VG：200 次跳跃（每一步）

左侧面板将 VG 路径绘制为阶梯函数 —— 每个时间步都是一次独立的跳跃。右侧面板显示 Merton 路径：罕见的大跳跃（红色柱）之间是平滑扩散。点击“重新生成”并对比：

VG：持续的小跳跃，偶有大跳跃。没有平滑段。路径处处抖动。

Merton：长时间的平滑段，被突然的垂直跳跃打断。两种界限分明的状态（平静与冲击）。

为什么这很重要

在纯跳跃的世界中，Delta对冲从构造上就是不完美的 —— 由于价格本身不连续，您无法连续交易。这实际上比 Merton 更诚实：Merton 声称扩散部分可以被完美对冲，只有罕见的跳跃无法对冲。在流动性稀薄的加密货币订单簿中，每笔成交实际上都是一次跳跃。VG 承认了这一现实。

第 4 节

特征函数

VG 拥有简洁的闭式特征函数。这正是傅里叶定价得以实用的原因 —— 无需蒙特卡洛就能快速且精确地为欧式期权定价。

VG 特征函数

φ(u) = (1 − iuθν + ½σ²u²ν)^−T/ν

每个参数都以清晰的方式进入：
σ 通过 u² 项进入（方差贡献）。
θ 通过 iu 项进入（通过虚部产生偏斜）。
ν 通过指数 −T/ν 以及底数进入（峰度）。
When ν → 0: the exponent → −∞, 特征函数收敛于 BS 对数正态特征函数。VG 将 BS 作为极限情形包含在内。

定价流程：取此特征函数，代入 Carr-Madan（1999）公式或 COS 方法，再应用快速傅里叶变换。一次计算即可得到所有行权价上的期权价格 —— 无需逐行权价计算，也没有模拟噪声。

指数 −T/ν 为负，且随 T 增大而更负。这意味着期限越长，特征函数衰减越快，对应于 VG 微笑曲线随时间变平。时钟的随机性在长期内被平均化 —— 这是一种自然的期限结构效应。

VG 下的对数价格

ln S(t) = ln S(0) + (r + ω)t + X^VG(t)

ω = (1/ν)·ln(1 − θν − σ²ν/2) —— 凸性修正项。这确保标的资产价格在风险中性测度下是鞅（预期收益率为 r）。

第 5 节

VG 的实际应用

VG 并非行业默认选择——Bates（Heston + 跳跃）主导着股票和加密货币交易台。但 VG 的从属化思想无处不在，且该模型有其特定的应用领域。

信用衍生品： VG 最初在信用建模中很受欢迎。违约是一个跳跃事件。VG 的纯跳跃特性能够干净地处理不连续的收益。Madan、Carr 和 Chang（1998）在引入 VG 时部分就考虑到了信用领域。

微笑要求简单的股票类奇异期权： 当您需要一个矩解释清晰的 3 参数微笑拟合时，VG 难以超越。由于每个参数的作用明确无歧义，校准速度很快。

流动性稀薄的加密货币交易对： 流动性差的加密货币交易对并不平滑扩散——它们随着订单成交而从一个价格跳空到另一个价格。VG 的纯跳跃特性比任何扩散模型都更如实地描述了这种价格行为。

从属化思想：用随机时钟替代日历时间的概念具有奠基性意义。它出现在随机时钟、交易时间模型、基于活动性的模型以及 CGMY（VG 的推广）中。即使您从不使用 VG 为期权定价，理解时间变换也会让其他每个模型更清晰。

模型对比

Black-Scholes：平坦微笑。连续路径。1 个参数。

Merton：微笑来自罕见的大跳跃。平滑扩散 + 泊松跳跃。4 个参数。

Kou：微笑来自非对称跳跃。两翼独立控制。5 个参数。

方差伽马（Variance Gamma）：微笑来自随机时钟。纯跳跃、无扩散。3 个参数，一个参数对应一个矩。

Heston：微笑来自随机波动率。连续路径。5 个参数。

Bates：Heston + Merton 跳跃。主力模型。8 个参数。

接下来可以学习：

Merton 跳跃扩散模型 —— 扩散 + 罕见的大跳跃

Kou 跳跃扩散模型 —— 两翼独立的非对称跳跃

Heston 模型 —— 随机波动率，构造微笑的另一种途径

Bates 模型 —— Heston + 跳跃：业界主力模型